Aritmetik
Aritmetik, Matematiğin dalı. Aritmetiğin iki temel işlemi toplama ye çarpmadır. İki rakamı toplama işleminin sonucuna, "sayıların toplamı" denir. İki rakamı çarpma işlemi sonucuna "çarpım" denir. Çıkartma, toplamanın ters işlemi ya da açılımıdır; sonucuna "fark" denir. Gerçek (reel) sayıların aritmetiği - yani rasyonel ve irrasyonel sayılar - alan özellikleri denilen bazı özelliklere dayanır:
1) Toplamada kapalılık özelliği: Her a ve b gerçek sayısı için, a+b bir gerçek sayıdır.
2) Çarpmada kapalılık özelliği: Her a ve b gerçek sayısı için, a x fa bir gerçek sayıdır.
3) Toplamanın birleşme özelliği: Her a, b ve c gerçek sayısı için (a+b)+c=a+(b+c)dir.
4) Çarpmanın değişme özelliği: Her a, fa ve c gerçek sayısı için (3x b)xc =a x (b x c)'dir.
5) Toplamanın değişme özelliği: Her a ve fa gerçek sayısı için a+b=b+a'dır.
6) Çarpmanın değişme özelliği: Her a ve fa gerçek sayısı için a x b=b x a'dır.
7) Toplamada etkisiz eleman: Her a gerçek sayısı için O+a—a+O=a'dır.
8) Çarpmada etkisiz eleman: Her a gerçek sayısı için 1 x a=a x 1 = a'dır.
9) Çarpmada bir elemanın tersi: Her a gerçek sayısı için, -a-ha=0 koşulunu sağlayan tek bir -a gerçek sayısı vardır.
10) Çarpmada bir elemanın tersi: Her a gerçek sayısı için, (1/a) x a=1 koşulunu sağlayan tek bir 1/a gerçek sayısı vardır.
11) Çarpmanın toplama üstünde dağılma özelliği: Her a,b ve c gerçek sayısı için a x(b+c)=(a x b)+(a x c)dir.
Konunun kullanım alanı: Kişi, para, zaman, ölçü, hacim, alan, uzaklık, ısı ya da sayıları içeren başka herhangi bir şeyle ilgili olduğunda, aritmetiği kullanmak yararlıdır.
Farklı tipte sayılar, farklı tipte sorulara yanıt verir. Doğal sayılar (0,1,2,3....), Ne kadar? Ne kadar uzak?, gibi soruların yanıtıdır. Doğal sayıların toplamı, birimleme ya da birleştirmeyle gerçekleştirilir. Doğal sayıların çarpımıysa ardarda toplama biçiminde düşünülebilir. Sözgelimi 3x7,7+7+7'ye eşittir. Doğal sayı sistemi, iki terslik özelliği dışında, bütün alan özelliklerini sağlar ve genellikle insanların tanıdığı ilk sayı sistemidir. Doğal sayılara (0 ya da sıfır, istisnasıyla)!"sayma sayıları"daldenir, çünkü saymayı içerirler. En büyük doğal sayı yoktur; ama en küçüğü "sıfır"dır. "Ne kadar" sorusuna yanıt, sıfırla belirtilen "hiç"ten daha az olamaz.
Sorular bir sayının işaretiyle ilgili soruluyorlarsa, ama hâlâ yalnızca tam birimlerle ilgililerse, tamsayılar sistemi kullanılır. Tamsayılara genellikle "işaretli sayılar" ya da "yönlü sayılar" denir. Eksi işaretlileri, yani her doğal sayı için toplama işleminin ters elemanı dahil bütün doğal sayıları kapsar. Dolayısıyla tam sayılar; .....-3,-2,
-1,0,1,2,3.... olur; burada artık sıfır"hiç'"i belirtmeyip, sistemin orta elemanıdır. Tamsayılar, sıcaklık ölçümünden banka hesaplarına kadar, işaretlerinin de miktarları kadar önemli olduğu bütün hesapları yapmada kullanılır. Tamsayılar sistemi, çarpmanın ters elemanı dışında, bütün alan özelliklerini sağlar.
Aynı işaretli tamsayılar (her ikisi de artı, ya da her ikisi de eksi), doğal sayılarla aynı yoldan toplanır (ya da çıkarılır) ve toplama (ya da farka) ortak işaret verilir. İşaretler farklıysa, toplam (ya da fark), farkın (ya da toplamın) alınıp, mutlak değeri büyük olan sayının işareti verilerek bulunur. Tamsayılarda çarpma (ya da bölme) doğal sayılarla aynı yolda yapılır ve işaretler aynıysa çarpım (ya da bölüm) artı, işaretler farklıysa eksi olur.
Rasyonel sayılar, tamsayıları olduğu gibi, tamsayılar arasında yer alan kesirli sayıları (kesirler) da kapsar. Bir
rasyonel sayı, bir tamsayının (pay), sıfırdan farklı başka bir tam sayıya (payda) bölümü olarak ya da tekrarlı (ya da sonlu) ondalıklar biçiminde gösterilir. Rasyonel sayılar sistemi bütün alan özelliklerini sağlar ve doğal sayılar ya da tamsayılar sistemine oranla, yaklaşık olarak bütünlüğü sağlar; bununla birlikte her mesafe ölçümüne bir çözüm getiremediğinden hâlâ tam anlamıyla eksiksiz değildir. Bunun için, rasyonel ve irrasyonel sayıların her ikisini birden içeren, gerçek (reel) sayılar sistemi gereklidir.
Gerçek sayılar sistemi, olanaklı her uzaklığı -artı, eksi, sıfır- tam birimleri ve birbirlerinin parçalarını içerir. Bu sisteme tam önermeli alan denir.
Tarihçe: Aritmetiğin tarihi, sayı sistemlerinin gelişme tarihidir. Günümüzde aşağı yukarı dünyanın her yanında kullanılmakta olan sistem, bilinen 10'luk taban sistemidir; ama, eskiden, başka sistemler de yaygın biçimde kullanılmıştır. Sözgelimi,4 000'den fazla yıl önce, aritmetikte önemli ölçüde gelişmiş olan Babilliler, hane değerlerini de içeren 60'lık taban sistemi kullanmışlardır.
Babil sistemi, hesaplarda bir sayıda boş bir yeri tutacak sıfır kavramından yoksundu. Bu önemli kavram, günümüzde 10'luk taban sisteminde Hintliler tarafından tanıtılmış ve eklenen bu simgeyle Araplar matematikte büyük bir gelişme göstermişler, sonra bu Hint-Arap kavramları Kuzey Afrikalılar aracılığıyla Orta Avrupa'ya aktarılmıştır. Daha sonra aritmetikte, en önemli gelişmeler XIX. ve XX. yy'larda, sayıların matematiği mantık sistemlerinde temel alındığında, gerçekleştirilmiştir.