Geometri
Geometri, Matematiğin dallarından biri. Çevremizdeki uzayı ve bu uzayda oluşturulabilecek biçimleri inceleyen geometri, matematiğin kökeni Eskiçağ'a kadar uzanan en eski dallarından biridir ve alanları, hacimleri, ölçüleri hesaplama, plan çizme, vb. gereksinmesinden doğmuştur.
Mısırlıların, Babillilerin ve Mezopotamyalıların bu alandaki bilgileri üstüne çok az belge vardır. Kendilerinden önce yapılmış çalışmalardan yararlanan eski Yunanlılar, Thales, Pythagoras, Arkhimedes, Apollonios gibi bilginleriyle, geometriyi büyük ölçüde geliştirmişlerdir. Eukleides'in Stoikheia (Elemanlar) adlı yapıtında, matematikte, özellikle de geometride ilk çizim taslağına yer verilmiştir.
Geometri, XVI. yy'dan XIX. yy'a kadar gelişerek çeşitli dallara ayrılmış ve analitik geometri, tasarı geometri gibi yeni bölümleri ortaya çıkmış, ayrıca, temel ilkeler üstünde yapılan çalışmalar, eukleidesçi olmayan geometrilerin doğmasına yol açmıştır.
XIX. yy'a kadar geometri, matematik içinde çok önemli bir yer tutmuş, hattâ bu nedenle, matematikçiler "geometrici" diye adlandırılmıştır. Günümüzdeyse, genel ve soyut yapıların çizimini konu edinmektedir.
En eski geometri yapıtı, Eukleides'in yazdığı Elemanlar1 dır. Çizimler bu yapıtta,tanımlar, ortak kavramlar ve postulatlar gibi üç temel ilkeye dayanır. Tanımlar, nokta, doğru, düzlem, çizgi, vb. sözcüklerle ilgilidir. Sözgelimi, Eukleides'e göre "doğru, her noktasında kendisine benzeyen çizgidir". Ortak kavramlar, büyüklükleri inceleyen her bilim dalında geçerli ve doğru olduğu düşünülmüş gerçeklerdir; sözgelimi, "bütün, parçalardan daha büyüktür." Postulatlar, bütünüyle açık seçik olmayan ve kanıtlanamayan özellikleri belirtir. Bunlardan en ünlüsü, Eukleides postulatıdır: "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel çizilebilir".
Geometri uzun süre, bir bilimin kesin biçimde açıklanmış bir modeli olarak görüldü. Karanlıkta kalmış tek nokta, Eukleides postulatıydı; ama, bu postulatı kanıtlama umudu da henüz yitirilmemişti. Bununla birlikte, XIX. yy'da matematikçiler, Eukleides postulatının eksik yanları olduğunu ortaya koydular: Öncelikle tanımlar, gerçek tanımlar değildir; çünkü daha önce tanımlanmamış sözcüklerden yararlanılmaktadır. Bu sakınca önlenmek isteniyorsa, tanımlanmamış sözcüklerin sunacağı birincil kavramlar bulunacağını da kabul etmek gerekir. Kaldı ki, Eukleides'in yapıtında bütün postulat ve aksiyomlar açıkça belirtilmemiştir. Eukleides geometrisindeki varsayımların eksiksiz açıklamalarını, matematikçi Hilbert (1862-1943) Grundlagen der Geometrie (Geometrinin Temelleri, 1899) adlı yapıtında sunmuştur.
GEOMETRİNİN GENİŞLEMESİ
Geometri, temelleri ve yapısı üstündeki açıklamalar belli bir kesinliğe henüz ulaşmadan, yeni dallara ayrıldı.
XVII. yy'da Descartes (1596-1650) ve çağdaşı Fer-mat'nın (1601-1665) çalışmaları sonucunda, analitik geometri doğdu. Analitik geometrinin temel ilkesi, belli bir geometrik gerçekliği, değişken nicelikler arasındaki bir bağıntıyla yorumlamaktır. Bu amaçla, koordinat eksenlerine başvurulur. Yöntemi ilk kez kullanan, yukarıda adı geçen matematikçiler değildir ama, geometrinin tümüne uygulanabilecek genel bir yöntem niteliğini onlar kazandırmıştır. Özellikle bazı düzlem geometri eğrilerinin incelenmesi ve bunlara teğet doğruların belirlenmesinde, söz konusu yöntemi kullanmışlardır. Ayrıca, yöntemin üç boyutlu uzaya uygulanması, yüzeyleri düz olmayan uzay eğrilerini inceleme olanağı veren bu incelemeler, geometrinin ilk konusunun aşılarak, üçten çok boyutlu uzayların ele alınmasına yol açmıştır. Gene XVII. yy'da matematikçi Desargues (1593-1662), tasarı geometriyi yaratarak, salt geometrinin gelişmesini hızlandırmıştır.
EUKLEİDESÇİ OLMAYAN GEOMETRİLER
Eukleides'ten sonra, XVIII. yy'a kadar, Eukleides postulatını kanıtlamak için sayısız girişim yapılmış, ne var ki, XIX. yy'da, bu postulatı kabul etmeyen geometrilerin kurulmasıyla, söz konusu postulatın öbürlerinin sonucu olmayacağı anlaşılmıştır.
Lobaçevski geometrisinde, Eukleides geometrisinin tersine bir postulat önerilmiştir: "Bir d doğrusuna, dışındaki bir A noktasından sonsuz paralel çizilebilir". Bu geometride, bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür; Eukleides geometrisindeyse, bilindiği gibi 180 derecedir.
Riemann (1826-1866) geometrisindeyse, daha değişik bir postulat önerilir: "Bir d doğrusuna, dışındaki bir A noktasından hiçbir paralel çizilemez". Bu geometriye göre, paralellik kavramı yoktur; doğru, sonlu bir çizgidir ve bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.
Eukleidesçi olmayan geometrilerin her birinde kuramlar, koşullar uyarınca örnekler seçilebildiği ölçüde gelişmiştir. Bu nedenle, söz konusu kuramlar arasında çelişki görülmez; dolayısıyla, Eukleides postulatı, geometrinin öbür postulatlarının bir sonucu olamaz GÜNÜMÜZDE GEOMETRİ ANLAYIŞI Günümüzde geometri, altüst olmaktan, XIX. ve XX. yy'larda ortaya konan yapısının tümünü yeniden düzenleme girişimlerinden kurtulamamıştır. Matematik içinde eskiden kazandığı önemli yerini yitirmiş, kuramlar ile daha genel yapıların örnek ve uygulaması durumuna indirgenmiştir. Sözgelimi, kümeler kuramı, bazı dönüşüm gruplarının koruduğu özelliklerden yararlanarak, geometrinin çeşitli özelliklerini ortaya koyma olanağı vermiştir.
Bütün farklı geometriler aslında iç içe girer; bîrinde kanıtlanabilen bütün özellikler, ötekiler için de geçerlidir. Örnek olarak, Thales teoremi, paralelkenarın özellikleri, vb. gösterilebilir.