Kümeler Kuramı
Canlı ya da cansız varlıkların, küme denen topluluklar halinde belirtilmesi oldukça eski ve basit bir işlemdir. Ama bu uygulamayı bir kuram haline getiren Alman matematikçi Georg Cantor oldu; Cantor’un 1874 ile 1895 arasında geliştirdiği kümeler kuramı, 20. yüzyıl matematiğinin temelini oluşturdu.
Kümelere ilişkin olarak akılda tutulması gereken ilk temel özellik, bir kümenin açık bir biçimde tanımlanmış olması gerektiğidir; yani bir kümenin neyi kapsadığı ve neyi kapsamadığı açık biçimde görülebilmelidir. “Yaşlı insanlar kümesi” diye bir küme olamaz, çünkü kime “yaşlı” deneceği belirsizdir ve herkes tarafından aynı anlamı taşımaz. Ama, “60 yaşın üstündeki insanlar kümesi” kurulabilir, çünkü kümenin kimi kapsayıp kimi kapsamadığı kesin olarak belirtilmiş durumdadır.
Bazen yanıltıcı durumlarla karşılaşılabilir. Örneğin “Kırmızı saçlı insanlar kümesi” dendiğinde, küme sanki açık biçimde tanımlanmış gibidir, oysa kırmızının bazı tonlarını kahverengiden ayırt etmek oldukça zordur; demek ki, bu kümenin tanımında da bir belirsizlik vardır. “2008 yılındaki Dünya Kupası karşılaşmalarında yer alacak Danimarka takımının futbolcuları kümesi” de pek belirli değilmiş gibi gözükür, çünkü bu takımda kimin yer alacağı bugünden bilinemez, ama bir küme olarak çok iyi biçimde tanımlanmıştır, bu nedenle de belirli ve anlamlı bir kümedir.
Kümeyi oluşturan varlıklara ya da nesnelere, “kümenin elemanı” denir. Kümeler genellikle elemanları sıralanarak gösterilir. Bu tür liste yöntemiyle göstermede elemanlar kıvrımlı parantezler arasında sıralanır: {Pazar, Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi}. Bu, haftanın günleri kümesidir; bu küme bir başka biçimde de yazılabilir: {Haftanın günleri}.
Ama bu yazıma belirsiz olduğu için karşı çıkılabilir ve bu kümenin daha açık biçimde tanımlanabilmesi için {haftanın günlerinin adları}, hatta {haftanın günlerinin Türkçe adları} biçiminde yazılması gerektiği söylenebilir. Bazen kümeler konusunda bu tür tartışmalar olur; bunun ne denli önemli olduğunu, bazı sayı kümelerini ele alarak görebiliriz.
{2,4,6,8,10,12,....} biçiminde yazılan bir küme (buradaki üç nokta, sayıların aynı biçimde sürüp gittiğini gösterir), l ’den büyük çift sayıların kümesidir. Peki ama, l ’den küçük çift sayı yok mudur? Bütün çift sayıları kapsamak istiyorsak, sıfırı da eklememiz gerekmez mi? Sıfırdan küçük çift sayı yok mu?
Kümeleri göstermenin bir başka yolu da çeşitli şemalardan yararlanmaktır; bunların içinde en yaygın kullanılanı Verin şeması’dır. (Bu şema 19. yüzyıl İngiliz matematikçisi John Venn’in kullandığı şemalardan yararlanılarak geliştirilmiştir.) Venn şemasında kümenin elemanları kapalı bir eğri içinde gösterilir.Örneğin {20’den küçük çift sayılar} kümesinin Venn şeması şu biçimdedir:
Elbette ele aldığımız bir kümenin hangi tür sayıları kapsayacağına baştan karar vermek zorundayız. Örneğin, bu örnekte kesirler değil, tam sayılar kümesi alınmıştır; bu durum mutlaka açık biçimde belirtilmelidir. Öte yandan, içinden kümelerimizi seçip aldığımız bütünsel bir evrensel küme vardır; evrensel küme genellikle bir dikdörtgenle gösterilir:
Şimdi bu evrensel kümenin içinden başka bir küme daha, örneğin {3’ün katları} kümesini seçelim ve bunu Venn şemasıyla gösterelim:
İlginç bir durum ortaya çıkmıştır. Görüldüğü gibi bazı sayılar iki kümeye birden girmiştir, yani iki küme kesişmiştir. Her iki kümede de yer alan bu sayıların oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir. Kesişim özel bir işaretle gösterilir; yukarıdaki örnekte bu şöyle yazılır: {2’nin katları}∩{3’ün katları}.
Kümeler genellikle bazı harflerle ya da kısaltılmış biçimlerde gösterilir. Eğer {2’nin katları} yerine K(2), {3’ün katları} yerine de K(3) yazarsak, o zaman bu iki kümenin kesişimi K(2)∩K(3) biçiminde gösterilir.
Bu kesişimde özel bir durumun ortaya çıktığına dikkat etmişsinizdir; gerçekten de kesişim sonucunda ortaya çıkan yeni küme aynı zamanda {6’nın katları} kümesidir. Öyleyse bunu,
K(2)∩K(3)=K(6) biçiminde yazabiliriz. Aslında bu, “hem 2’nin, hem de 3’ün katı olan bir sayının, 6’nın da katıdır” diye uzun uzun yazmanın yerine tercih edilen bir gösterim biçimidir.
Gene Venn şemasında bu kez {2’nin katları} ve {4’ün katları} kümelerini gösterirsek, ilginç bir başka durum ortaya çıkar.
K(4) kümesi, K(2) kümesinin içinde yer almaktadır; bu demektir ki, 4’ün bütün katları, 2’nin de katlarıdır. Bu durumda K(4) kümesi K(2) kümesinin bir altkümesi’dir; bunu şöyle yazarız:
K(4)⊂K(2).
Genel olarak ifade edecek olursak, A kümesi B kümesinin altkümesi ise, bunu A⊂B biçiminde gösteririz.
Kümeler kuramında kullanılan öteki ifadeler şunlardır:
Bir kümenin elemanı ∈ simgesiyle belirtilir; yukarıdaki örneğimizde, 4’ün K(2) kümesinin bir elemanı olduğu, 4 ∈ K(2) biçiminde gösterilir.
Boş küme, hiçbir elemanı olmayan kümedir ve {} ya da ∅ biçiminde gösterilir.
İki kümenin birleşimi, iki kümenin elemanlarından oluşan kümedir ve A ∪ B biçiminde yazılır.