Kesirler
Kesirleri genellikle, bir bütünün parçaları olarak düşünürüz. Gerçekten de kesir sözcüğü, “kırma”, “parçalama” anlamındaki Arapça kesr sözcüğünden gelir. Örneğin, bir kalıp çikolatayı dört eşit parçaya ayırırsak, her parça bütünün bir kesri olur; bu örnekte, çikolata kalıbının dörtte birlik (1/4) kesrine çeyrek denir.
Kesirlerden ikisinin kendine özgü adı vardır: Yarım ve çeyrek. Bunların dışında kalan bütün kesirler, bütünün kaç parçaya ayrıldığını (bölündüğünü) gösteren bir sayıya göre adlandırılır. Örneğin, bir kalıp çikolatayı 24 eşit parçaya bölerseniz, her parça bütün kalıbın 24’te 1’i (1/24) olur.
İlk örneğimizdeki çeyrek parçalardan üçünü ele alırsak, bunu üç çeyrek (3/4) olarak adlandırabiliriz.
Üç çeyrek, bir çeyreğin üç katıdır. 3/4=3 x 1/4.
Ama, 3/4’ü elde etmenin tek yolu bu değildir. Eğer elimizde üç kalıp çikolata olsaydı ve bunları dört kişi arasında eşit olarak paylaştırmak isteseydik şöyle yapabilirdik:
Böylece herkesin payına bir kalıbın 3/4’üne eşdeğer miktarda çikolata düşerdi. Yani, üçü dörde böldüğümüzde de 3/4 elde ederiz.
3 ÷ 4= 3 / 4 .
Üç çikolata kalıbının her birini çeyrek (dörtte birlik) parçalara ayırıp herkese her kalıptan birer çeyrek de verebilirdik.
Demek ki, iki paylaştırma yöntemiyle de aynı sonucu elde ederiz:
3 ÷ 4= 3 x l/4= 3 /4 .
Yalnızca nesnelerin değil, sayıların da kesirlerini bulabiliriz. Örneğin 20’nin 3/4’ünü bulmak için çikolatalara uyguladığımız yöntemlerin aşağı yukarı aynısını uygulayabiliriz. Önce 20’nin dörtte birini bulur; sonra da bunlardan 3 tanesini alabiliriz. 20’nin dörtte birini (çeyreğini) bulmak için 20’yi dört eşit parçaya böleriz. Bu durumu da bir çizimle gösterebiliriz:
Şöyle de söyleyebiliriz:
20’nin1/4’ü = 20 ÷ 4
20’nin 3/4’ünü bulmak için de 5’in 3 katını alırız.
3x5=15
20’nin 3/4’ü=15.
Yaptığımız, 20’yi 4’e bölüp 3’le çarpmaktır:
20’nin 3/4’ü= (20 ÷ 4) x 3
= 5 x 3
= 15.
Aslında bu işlemi, bir başka yoldan, yani işlem sırasını değiştirerek de yapabiliriz: Önce 20’yi 3’le çarpar, sonra da 4’e bölebiliriz.
20’nin 3/4’ü= (20 x 3 ) ÷ 4
= 60 ÷ 4
= 15.
Bunu bir başka biçimde daha ifade edebiliriz: 20’nin 3/4’ü, 20’nin üç çeyreği demektir. O zaman üç kere 20 bölü dördün kaç edeceğini buluruz.
20’nin 3/4’ü = 3 x (20 ÷ 4 )
= 3 x 5
= 15.
Bu işlemi,
20’nin 3/4’ü = (3 x 20 ) ÷ 4
= 60 ÷ 4
= 15
biçiminde yazmak da tamamıyla aynı şeydir. Kesirleri bu kadar karmaşık gösteren de bu değişik düşünme biçimleridir.
Kesirler başka biçimde de kullanılabilir. Eğer 10 soruluk bir testte yedi doğru yanıtınız varsa, öğretmeniniz 10 sorudan yedisini doğru yaptığınızı, 7/10 yazarak gösterebilir. Bu gerçekte soruların 10’da 7’sini doğru yanıtladığınız anlamına gelir.
Ama, bu noktada dikkatli olmak gerekir. Eğer, ikinci bir testte de 10 sorudan sekizini doğru yanıtlamışsanız, bunun sonucu da 8/10 olarak gösterilebilir. Peki, o zaman her iki testteki toplam soruların kaçta kaçını doğru yanıtlamış olursunuz? Elbette, 20 sorudan toplam olarak 15’ini, bir başka deyişle, soruların 20’de 15’ini (15/20) doğru yanıtlamış olursunuz. Ama, bunu bulabilmek için, aşağıda anlatılacak olan kesirlerin toplanmasına ilişkin kuralları uygulayarak, iki ayrı kesri toplamayı denerseniz- elde edeceğiniz sonuç,
7/10+8/10= 15/10’dur.
İlk bakışta, 10 sorudan 15’ini doğru yapmışsınız gibi bir görünüm ortaya çıkıyor ki, bu olanaksızdır. Ama eğer, 10’da 15’in, 1 ½ demek olduğunu görebilirsek bu sonucu başka türlü de değerlendirebiliriz. Bu konuda aşağıdaki çizim bize yardımcı olacaktır. Bu durumda, doğru yanıtlarınızın 1 1/2 teste eşdeğer olduğu söylenebilir; çünkü, bir tam test 10 soru, bir yarım test 5 soru olduğuna göre, sizin toplam 15 doğrunuz, gerçekten de 1 1/2 test, yani bir testin 10’da 15’i (15/10) eder.
Orantılar ve Eşdeğer Kesirler
Kesirler, orantıları tanımlamak için kullanılabilir. Şu iki dikdörtgeni ele alalım:
Üstteki dikdörtgenin alanı 3 cm2, alttakinin ise 5 cm2’dir. Bu iki alanın birbirine oranı 3 bölü 5’tir, bu orantıyı 3/5 biçiminde yazabiliriz. Bu bize, aynı zamanda, küçük dikdörtgenin ötekinin beşte üçü büyüklüğünde olduğunu da gösterir. (Büyüğün küçüğe oranının da 5 bölü 3 olduğunu söyleyebilir ve bunu 5/3 biçiminde yazabiliriz. Demek ki büyük dikdörtgen ötekinin üçte beşi büyüklüğündedir.)
Alanları, kareler yerine, üçgenlerle ölçtüğümüzü varsayalım.
Küçük dikdörtgendeki üçgenlerin büyüktekilere oranı 10’da 6 ya da 6/10’dur. Ama, alanlar değişmediğine göre, oranların da aynı kalması gerekir.
Demek ki:
3/5=6/10
yazabiliriz. Her kareyi istediğimiz sayıda parçaya bölebiliriz.
Burada oran 12/20 biçiminde yazılabilir; öyleyse
3/5=6/10=12/20’dir.
Aslında, her kareyi aynı biçimde böldüğümüz zaman, her dikdörtgendeki kare sayısını aynı sayıyla çarpmış oluyoruz; bu nedenle de oran hep aynı kalır. Böylece sonuçta, her biri aynı oram gösteren bir kesirler kümesi elde ederiz:
3/5=6/10= 12/20= 15/25=...
Yamaçların eğimlerini tanımlamak için de kesirlerden yararlanabiliriz. 10’da 3’lük(3/10) eğim şöyle gösterilebilir:
Dikdörtgenlerin alanlarını olduğu gibi, düşey ve yatay uzunluklarını ölçmek için de istediğimiz herhangi bir birimi kullanabiliriz. Eğer birincinin yarısı büyüklüğünde ikinci bir birim seçersek, aynı uzunluğa sığabilecek birim sayısı da iki katına çıkar.
Eğimimiz 20’de 6 (6/20) biçiminde yazılabilir. Ama eğim değişmediğine göre;
3/10=6/20’dir.
Aynı şeyi temsil eden kesirlere eşdeğer kesirler denir. Çikolata parçalarını da aynı biçimde birbirine oranlayabiliriz:
Buna göre,
3/4=6/8’dir.
Toplama ve Çıkarma
Kesirler, belki de toplanması en zor olan şeylerdir. Eğer kesirler yeterince basitse, örneğin
1/2+1/4=3/4
olduğunu şöyle bir çizimle gösterebiliriz:
Daha zor toplamaları yapabilmek için, önemli olan kesirlerin paydalarını eşitlemektir. (Bölüm çizgisinin altında kalan sayıya payda denir.) Örneğin, 1/3, 1/4 ve 1/5’i toplayabilmek için her üç kesri de, paydaları 60 olacak biçimde yazarız; bir başka deyişle her üç büyüklüğü de 60’ın kesirleri olarak ifade ederiz.
1/3=20/60
1/4=15/60
1/5 = 12/60.
Şimdi bölüm çizgisinin üstünde kalan sayılar (paylar) toplanabilir.
1/3 + 1/4+1/5=20/60+15/60+12/60
=47/60.
Kesirlerin çıkarılması da aynı yöntemle, bütün kesirler ortak paydaya getirilerek yapılabilir.
Kesirleri çarpmak için bazı kurallar ÇARPMA maddesinde anlatılmıştır. Ama kesirlerle çok fazla hesap yapmak zorundaysanız, bunları onlu sayı sistemine çevirebilir ve bir hesap makinesi kullanabilirsiniz.
