Koordinat sistemleri (matematik)
Koordinat sistemleri (matematik), Bir noktanın konumunu bir sayı kümesiyle belirlemek için uygulanan yöntemleri topluca belirten terim. Kullanılan sayılara, o noktanın "koordinatları" denir. Bir koordinat sisteminde, her koordinat kümesine tek bir nokta denk düşer. Koordinat sistemleri, geometrik cisimlerin özelliklerini cebirsel yöntemlerle incelemek için analitik geometride kullanılır.
Sınırlı sayıda serbestlik derecesi olan bir cisim, o türden bütün cisimler arasında düşünüldüğü zaman, bir koordinatlar (her serbestlik derecesi için bir tane) kümesiyle, yani sayılar kümesiyle kolayca tanımlanabilir ve başka cisimlerden ayırt edilebilir. Sözgelimi, düzlem üstündeki bir noktanın iki serbestlik derecesi vardır; dolayısıyla, bu noktanın, düzlemin herhangi bir koordinat sistemine göre, iki koordinatı vardır.
Birçok farklı koordinat sistemi vardır. Bir sorunun geometrisi ve simetrisi, çoğunlukla uygun bir koordinat sistemi ortaya koyacaktır. Sık kullanılan koordinat sistemleri, ikiboyutlu uzayda kartezyen koordinatlar ve kutupsal koordinatlar, üçboyutlu uzaydaysa kartezyen, küresel ve silindirsi koordinatlardır.
İki boyutlu koordinat sistemleri: Düzlemde rastgele seçilen herhangi bir O noktasından birbirine dik iki çizgi çizilir; çoğunlukla bunların biri yatay, öbürü dikeydir. Yatay çizgi x ekseni, dikey çizgi y ekseni olarak alınır ve O noktasına "başnokta" denir. Başnoktanın sağ yanında kalan x ekseni parçası "pozitif (artı) x ekseni", başnoktanın yukarısında kalan /ekseni parçasıysa "negatif (eksi) yekseni" diye adlandırılır. Bu iki eksen (koordinat eksenleri) düzlemi dört bölüme ayırır: Üst sağ (birinci), üst sol (ikinci), alt sol (üçüncü) ve alt sağ (dördüncü) bölümler.
Düzlemdeki bir P noktasının x koordinatı ya da absisi, Pile yekseni arasındaki dik uzaklıktır. P noktası y ekseninin sağındaysa, bu uzaklık artı, solundaysa, eksi, /ekseninin üstündeyse sıfırdır. P noktasının y ekseni ya da ordinatı, benzer biçimde, P ile x ekseni arasındaki dik uzaklıktır. Bu da P'nin x ekseninin yukarısında, aşağısında ve üstünde bulunmasına göre artı, eksi ve sıfır olur. (x, y) sıralı İkilisi, böyle tanımlanan koordinat sisteminde P"nin koordinatlarını temsil eder. Koordinatları (x, /)olan Pnoktası, simgesel olarak P(x, y)biçiminde gösterilir. Bu sistem, "iki boyutlu ya da düzlem kartezyen koordinat sistemi" diye adlandırılır ("kartezyen" terimi, Rene Descartes'tan kaynaklanır).
İkiboyutlu kutupsal koordinat sistemi, "kutup" denilen sabit bir O noktasıyla bu noktadan geçen, başlangıç çizgisi denilen bir eksenle belirlenir. Bu durumda, düzlemdeki bir Pnoktası, iki nicelik belirlenerek saptanabilir. Bu nicelikler, (1) eksenin P'den geçecek biçimde saatin tersi yönde döndürüleceği 0 açısıve(2) P noktası ile kutup arasındaki pozitif r uzaklığıdır. P noktasını, r ve 0 kutupsal koordinatlarında göstermek için, P(r, ğ) kullanılır.
P noktasının kartezyen gösterilişi P (x, y)'f yse, aynı noktanın kutupsal koordinat sistemiyle gösterilişi de P (r. 0)'yse, kartezyen sistemin başnoktası ve x ekseni, kutupsal koordinat sisteminin kutbuyla ve başlangıç çizgisiyle çakışıyorsa, iki sistem arasındaki ilişki, denklemleriyle gösterilir. Bu denklemlere, bir sistemden öbürüne "dönüşüm denklemleri" denir.
Üç boyutlu koordinat sistemleri: Uzaydaki herhangi bir O noktasından (başnoktadan) birbirine dik üç doğru (koordinat eksenleri) çizilir. Bunlara "x" ekseni, "y" ekseni ve "z" ekseni adları verilir; x ve y eksenlerini içeren düzlem, "xy düzlemi" (koordinat düzlemi) diye adlandırılır; zekseniyse, bu düzleme dik bir doğrudur. Öbür iki koordinat düzlemi de aynı biçimde tanımlanır. P noktasının x koordinatı, P'den yz düzlemine inen dikmedir. Y koordinatı ve Z koordinatı da benzer biçimde tanımlanır. Üç koordinat düzlemi, bütün uzayı sekiz bölüme ayırır. P noktası birinci sekizlikte yer alıyorsa, P'nin bütün koordinatları pozitiftir.
Bu yolla belirlenen sistem, üç boyutlu kartezyen sistemdir; sabit bir referans çerçevesine göre koordinatları x, y, z olan Pnin kartezyen gösterimiyse P(x, y, z)'dir. Her noktaya, üç gerçek sayıdan oluşan bir küme denk düşer.
Uzaydaki küresel koordinat sistemi, P noktasının yerini, sabit bir O noktasına (kutba) olan uzaklığıyla ve OP parçasının yönelimini tanımlayan iki açıyla belirleyen sistemdir. Koordinat sistemi, O'dan geçen iki dik yarıdoğruyla saptanır. Bunların biri kutup eksenidir ve iki yarıdoğruyu içeren düzleme "başlangıç meridyeni düzlemi" denir. P'nin küresel koordinatları,(r,0,?)'dur. Burada r, OP'nin uzunluğu, 0, başlangıç meridyeni düzlemi ile kutupsal eksenden ve OP'den geçen düzlem arasındaki açı, 0 da kutup ekseni ile OP arasındaki açıdır. Küresel sistem çoğunlukla bir kartezyen sisteme uyarlanır. Bu durumda kutup, başnokta olur; kutup ekseni z ekseniyle, başlangıç meridyeni düzlemiyse xz düzlemiyle çakışır. İki sistem arasındaki ilişki, x = r sin (?, cos 0, y = r sin ? sin 0 ve z = rcos ? denklemleriyle gösterilir.
Kutup koordinatları bulunan bir düzlemin ve kutuptan ya da başnoktadan geçen düzleme dik bir zekseninin oluşturduğu koordinat sistemine, "silindirsi kutupsal koordinat sistemi" adı verilir. Uzaydaki bir P noktasının yeri, düzlemle arasındaki z uzaklığı ve P'den düzleme inen dikmenin ayağının kutup koordinatlarıyla belirlenir. İki sistem arasındaki ilişki, x = r cos 0.y = sin 0, ve z = z denklemleriyle gösterilir.