Logaritma
Sayıların üslü sayılar biçiminde yazılması yöntemi, ARİTMETİK maddesinin “Üsler ve Kökler” bölümünde anlatılmıştır. Örneğin 81 sayısını, olduğu gibi ya da 3 x 3 x 3 x 3 biçiminde yazmak yerine, 3⁴ biçiminde yazabilirsiniz. 3 rakamının üstündeki küçük 4 sayısı, 3’ün kaç kez kendi kendisiyle çarpılacağını gösterir ve 3’ün kuvveti ya da üssü olarak adlandırılır. Bu tür bir sayıya logaritma (kısaltılmışı log) denebilir ve bu durumda 3 sayısı taban olarak adlandırılır. Buna göre 4’ün, 81 sayısının 3 tabanına göre logaritması olduğunu söyleyebiliriz. Benzer biçimde, 9 = 3 x 3 = 3^2 olduğu için, 9’un 3 tabanına göre logaritması 2’dir, diyebiliriz. Logaritmanın matematikçilere ne büyük bir kolaylık sağladığını anlamak için aşağıdaki basit örneği birlikte gözden geçirelim.
Diyelim ki, 81’i 9’la çarpmak istiyoruz. Bunu alışılmış yoldan yapmaktansa, şöyle yazarak da yapabiliriz:
(3 x 3 x 3 x 3 ) x (3 x 3 )
ya da 3^4 x 3^2
ve bu da 3^6 ya eşittir. Bu sonuca yalnızca logaritmaları toplayarak da varabilirdik. Eğer elimizde 3’ün kuvvetleri olan sayıları ve bunların karşılığı olan logaritmaları gösteren bir tablo varsa, o zaman herhangi iki sayıyı çarpmak için, bunların logaritmalarını toplayıp, bunun karşılığı olan sayıyı tablodan bulmak yeterlidir.
Sayı 1 3 9 27 81 243 729 2.187 6.561 19.683 59.049
Log 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Demek ki, 9 ile 8’i çarpmak için, tablodan bu iki sayının logaritmaları olan 2 ve 4 sayıları bulunarak toplanır; toplamın (6) karşılığı olan sayı (729) çarpımın sonucudur. Sayıları, logaritmalarını toplayarak çarpabildiğimize göre, bir sayıyı bir başkasına bölmek için de, birincisinin logaritmasından, ikincisininkini çıkarmak ve bunun karşılığı olan sayıyı bulmak gerektiği kolayca görülebilir.
Üslerden Kökleri Bulmak
Eğer 729’un (= 3^6) karekökünü bulmak istersek, bunun 27 (=3^3) olduğunu görürüz; çünkü, 729 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (3 x 3 x 3 )x (3 x 3 x 3 ) = 27x27’dir. Öyleyse bir sayının karekökünü bulmanın kolay yolu, logaritmasını ikiye bölmektir. Küpkök ise, logaritmanın 3’e bölünmesiyle bulunur.
Logaritmaların hepsi tamsayı değildir. 3 ile 9 arasındaki bir sayının 3 tabanına göre logaritması 1 ile 2 arasında bir sayı olacaktır. Örneğin, 27’nin karekökünü ele alalım. 27’nin (3 tabanına göre) logaritması 3 olduğuna göre, karekökünün logaritması da 3/2 olur; bu ise 1 1/2’ye eşittir. 27’nin karekökü, gerçekte yaklaşık 5,2 olduğuna göre, bu durum (kabaca) 5,2’nin logaritmasının da 1,5 olduğu anlamına gelir. Benzer biçimde, bütün sayıların logaritmalarını hesaplayabiliriz.
Taban Seçimi
Bu maddede kullandığımız bütün logaritmalar, 3 tabanına göre hesaplanmıştır. Ama logaritmanın, bugün olduğundan çok daha yaygın biçimde öğretildiği dönemlerde, çarpma, bölme, üs ve kök alma işlemleri, 10 tabanına göre düzenlenmiş logaritma tabloları kullanılarak yapılırdı. Bu sistemde, 10'nun logaritması 1; 100'ün logaritması 2; 1.000'in logaritması 3’tür ve bu böyle sürüp gider.
Logaritmayı, 17. yüzyılın başlarında İskoç matematikçi John Napier, astronomideki karmaşık hesaplamaları kolaylaştırmak için geliştirmiştir. Günümüzde ise, elektronik hesap makineleri, sıradan hesaplamalarda logaritmaya olan gereksinmeyi büyük ölçüde ortadan kaldırmıştır; ama logaritma, gene de matematiğin merak uyandıran bir dalıdır.